Вопрос конечно неоднозначный. Некоторые русские историки оспаривают эти утверждения.
О русском царе, татарине (тюрке) Борисе Годунове упоминал еще К. Маркс в первом томе своего «Капитала» (он происходил от принявшего в XVI веке крещение и поселившегося на Руси татарского мурзы Чета). Один из первых общественников, затронувших проблемы смешения русских с другими народами, Е.П. Карнович в конце XIX столетия отметил значительный тюркский слой в русских фамилиях.
В области науки потомки татар - гениальные русские ученые Менделеев, Мечников, Павлов, Мичурин. Тимир-Гази положил начало роду Тимирязевых. Татарские предки дали русской истории роды Радищевых, Кантемировых. Предком историка Карамзина был татарин Карамурза. В списке видных русских писателей есть писатели татарского происхождения: Достоевский, Тургенев, Державин (род Багировых и Нарбековых), Пешков (Горький). Пушкин сам указывал в своих предках русского Пушку, негра Ганнибала, татарина Раджу. Татарские корни очевидны у Аксаковых. Мать писателя Куприна, Кулунчакова, происходила из древнего рода татарских ханов Касимовского царства. Чаадаев - потомок одного из полководцев Чингисхана - Чаадая. Из этого рода и Ахматова. Татарского происхождения Булгаков, Сейфуллина. По внушению отца повторяла: «я татайка, я татайка» (в детстве не могла выговорить «р»), признается современная поэтесса Белла Ахмадуллина.
Знаменитые светила искусства балерины Павлова, Уланова, Спесивцева, артисты Ермолова, Каратыгин, художник Шишкин, композиторы Скрябин и Танеев, по утверждению историков, тоже от татарских предков.
Кузьма Минин до своего крещения носил фамилию Миннибаев. Воеводы князь Юрий Мещерский и боярин Андрей Черкизов, павшие на Куликовом поле, сподвижник Петра Великого генерал-адмирал Ф. Апраксин, фельдмаршал С. Апраксин также были татарами по происхождению. Не сомневаются историки, филологи в татарском происхождении Кутузова, Ушакова, Тухачевского. Оказывается, и герой Отечественной войны Александр Матросов - чистокровный башкир. Покинув в детстве свою деревню и попав в детский дом, Шакирзян Мухамедьянов принял имя Саша и, мечтая стать матросом, записался Матросовым.
"...Взгляните на москвича XVI въка: онъ кажется съ ногъ до головы одътъ по-самаркандски. Башмакъ, азямъ, армякъ, зипунъ, чебыш, кафтанъ, очкуръ, шлыкъ, башлыкъ, колпакъ, клобукъ, тафья, темлякъ - таковы татарскiя названiя различныхъ предметовъ его одъянiя. Если, поссорившись съ товаришемъ, онъ станетъ ругаться, въ его репертуаръ неизмънно будетъ фигурировать дуракъ, а если придется драться, въ дъло пойдетъ кулакъ. Будучи судьей, онъ надънетъ на подсудимаго кандалы и позоветъ ката дать осужденному кнута. Будучи правителемъ, онъ собираетъ налоги въ казну, охраняемую карауломъ и устраиваетъ по дорогамъ станцiи, называемыя ямами, которые обслуживаются ямщиками. Наконецъ, вставъ изъ почтовыхъ саней, онъ заходитъ въ кабакъ, замънившiй собой древнюю русскую корчму. И всъ эти слова азiатскаго происхожденiя. Въ этомъ безъ сомнънiя есть знаменательное указанiе, хотя и относится только къ внъшней формъ. Но гораздо важнъе то, что извъстная примъсь монгольской крови способствовала такой быстрой и покорной ассимиляцiи". /К.Валишевский "Иван Грозный", стр.109.
В словаре Даля почти все слова на буквы А, Б - татарськие. Слова заимствованные из тюркських языков: карандаш, ковыль, тушканчик, жемчуг, кумир, чертог, бисер, деньги, караван, кобура, курган, колчан, каракуль, кистень, казна, деньга, алтын, базар, коврига, изюм, арбуз, таз, утюг, очаг, епанча, шаровары, кушак, тулуп, аршин, бакалея, лапша, чулок, башмак, сундук, халат, туман, кавардак, аркан, алый, аршин, атаман, бабр (уст. тигр), балык, баран, барсук, барыш, башмак, богатырь, боярин, буран, изюм, кабан, казак, казна, кайма, калым, камыш, капкан, кумач, лошадь, сазан, саман, сарай, сундук, таракан, телега, туман, утюг, чугун, чулан, шалаш, бумага, лошадь. Если с современного русского языка изъять слова татаро-монгольського происхождения, то он станет непригодным для общения. Как в песне :
"В кибитке кочевой Едет ямщик молодой.
В кибитке сундук с бахромой,
У ямщика колпак дорогой, кушак золотой,
Смотри, смотри, будет кутерьма."
Десять татарських слов и только семь украинских.
Более полный список заимствований из тюркских и других языков в русском языке здесь
http://traditio-ru.org/wiki/Заимствованные_слова_в_русском_языке (статья называется "Заимствованные слова в русском языке").
Крещенные татары стали высшей знатью в Московском княжестве. Ими были Нарышкины, Сабуровы, Салтыковы, Басмановы, Мансуровы, Карамзины, Аракчеевы, Годуновы (Борис - один из царей Московских).
1492 год стал первым годом нового летоисчисления, когда сын чингисида-татарина Улу-Мухамеда (названного Василием II) Якуб, названный Иоанном III, решил, что он и его жена Софья Палеолог есть потомки Христа.
К стати, Иван Грозный - сын выкрещеной татарки Елены Глинской и конюха Ивана Овчины Телепнева Оболенского. Телепень - это дурень по украински. Вот откуда взялись сказки про Ивана Дурака, который из конюха вдруг стал царем. Да и сын их не отличался разумом. Народное прозвище Ивана Грозного - юродивый, то есть дурак.
Если список продолжать, то следует вспомнить и первого поэта России - Державіна и его стих «Да не забудется во мне последний род Багрима». А дальше будут еще «Юсуповы, Темирязевы, Чулковы, Тархановы, Бутурлины, Беклемишевы, Вельяминовы, Тургеневы, Чепчуговы, Куракины, Булгаковы, Бердяевы, Ромодановские, Аничковы, Татищевы, Плещеевы, Голицины, Булганины, Чаадаевы, Бибиковы, Булатовы, Алмазовы, Бестужевы, Хабаровы, Кутузовы, Тютчевы, Арбатовы, Урусовы, Сусанины, Анкудиновы и несть им числа».
